Radiação do corpo negro                FÍSICA  
EXPLORAÇÃO DE SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS

Para utilizar a simulação é necessária a instalação prévia do software JAVA.

Caso o software não esteja instalado, ao aceder à simulação, automaticamente, é pedida a sua instalação.

 

[1] Simulação da autoria de St. Norbert College, Wisconsin, Estados Unidos da América, disponível em 18/02/2014

 

 

A simulação computacional permite-te definir a temperatura a que se encontra uma determinada estrela como também o seu raio, que altera a área de superfície emissora da estrela.

 

Para diferentes valores de temperatura e de raio da estrela podes observar a alteração de uma outra variável que se ajusta automaticamente. Essa variável é a luminosidade da estrela (“luminosity”) e aparece como uma grandeza relativa em função da luminosidade do Sol.

 

Fisicamente essa variável é designada por potência total da radiação emitida por um determinado corpo, sendo designada de luminosidade na Astronomia.

 

Matematicamente a variável relativa, luminosidade da estrela (ou potência total emitida por um corpo negro), pode ser descrita pela relação:

 

 

 

Onde L estrela é a luminosidade da estrela, L Sol é a luminosidade do Sol, P emitida pela estrela é a potência total de radiação emitida pela estrela, e P emitida pelo Sol é a potência total de radiação emitida pelo Sol.

 

 

Também o raio da estrela (“radius”) apresentado é uma medida relativa. É uma grandeza que apresenta o raio da estrela em função do raio do Sol. Tal como a luminosidade, esta grandeza pode ser descrita matematicamente pela relação:

 

 

 

 

 

 

Onde R estrela é o raio da estrela e R Sol é o raio do Sol.

 

Nota também que, ao contrário das simulações exploradas anteriormente sobre o estudo da lei de deslocamento de Wien, as cores das estrelas apresentadas são as cores vistas da Terra. Como o efeito da atmosfera na dispersão e absorção da radiação é significativo, as cores apresentadas são diferentes das cores das estrelas quando observadas do espaço.

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Segue então a proposta de exploração apresentada que te irá ajudar na compreensão da Lei de Stefan-Boltzmann.

 

 

1 -  Começa a exploração da simulação analisando-a atentamente. 

 

• Repara nos eixos das variáveis apresentadas e explica por que é que apenas a grandeza temperatura apresenta unidades. 

 

2 -  Mantendo o valor do raio da estrela fixo, varia a sua temperatura e observa a variação da luminosidade.

• Que tipo de relação existe entre a temperatura da estrela e a sua luminosidade?

 

3 - Agora, mantém a temperatura da estrela num valor fixo, e varia o seu raio.

 

• Observando de novo a variação da luminosidade da estrela, indica como varia esta grandeza em função do seu raio.

 

4 -  Seguindo a sugestão feita na simulação, tenta combinar as variáveis possíveis de forma a obteres uma estrela vermelha/alaranjada tão brilhante como uma estrela azul. 

• Pensavas que uma estrela mais fria poderia ser tão brilhante como uma estrela mais quente? O que concluis acerca da luminosidade de uma estrela? 

 

5 -  Para uma análise mais quantitativa destas relações é necessário recorrer a um tratamento gráfico dos resultados observados.

    Num primeiro passo vamos estudar a relação entre a área da superfície emissora de radiação do corpo e a sua luminosidade. Para isso, regista 10 pares de valores do raio relativo (distribuídos ao longo da escala do raio relativo) e da luminosidade da estrela para uma determinada temperatura que deve ser mantida fixa ao longo de todo este passo.    

        Regista esses valores numa tabela como a exemplificada:

 

 

 

 

 

 

 

 

• Explica por que é que os valores do raio relativo da estrela a registar devem ser distribuídos ao longo da escala disponível.

 

6 -  Usando o software Excel da Microsoft, copia a tabela com os valores registados para uma folha de cálculo do software. 

 

7 -  A relação que pretendemos determinar não é uma relação entre o raio da estrela e a sua luminosidade mas sim entre a área da superfície da estrela e a sua luminosidade. É necessário então calcular a área da superfície de uma estrela.

 

• Apresenta a fórmula matemática que te permite calcular a área de uma superfície esférica a partir do raio dessa esfera.

• Constrói uma nova coluna na tua tabela e calcula os valores das áreas de superfície relativas das estrelas com base no seu raio relativo.

 

8 -  O método gráfico permite facilmente verificar a relação entre duas grandezas, bastando para isso encontrar uma relação linear entre essas mesmas variáveis. Constrói então um gráfico de dispersão colocando no eixo Y os valores da luminosidade relativa e no eixo X os valores das respetivas áreas de superfície relativas.

 

• O que se pode afirmar acerca da relação existente entre as variáveis?

• Verifica-se a existência de linearidade?

 

9 -  No segundo momento desta exploração, vamos estudar a relação existente entre a luminosidade da estrela e a sua temperatura. Desta vez, regista 10 pares de valores de temperatura (também distribuídos ao longo da escala de temperaturas) e da luminosidade da estrela, mantendo a outra variável, o raio da estrela, constante. Regista também esses valores numa tabela como a seguinte:

 

 

 

 

 

 

 

 

• Repara nas unidades de temperatura. É necessário convertê-las nas respetivas unidades S.I.?

• Tal como os valores do raio relativo da estrela registados, também estes valores necessitam de ser distribuídos ao longo da escala de temperaturas?

 

10 -   Copia a tabela com os teus registos para a folha de cálculo já utilizada.

 

11 -  Para encontrar a relação que pretendemos determinar, podemos recorrer de novo ao método gráfico. Constrói um novo gráfico de dispersão onde no eixo Y estejam representados os valores da luminosidade relativa e no eixo X os valores das respetivas temperaturas das diferentes estrelas.

• Observaste a linearidade pretendida? 

 

12 -   Constrói novas colunas na tua tabela onde calcules os valores da temperatura ao quadrado, ao cubo e elevada à quarta potência. Constrói três gráficos de dispersão onde, em cada um, representes:

 

No eixo Y os valores da luminosidade relativa e no eixo X os valores do quadrado das respetivas temperaturas.

No eixo Y os valores da luminosidade relativa e no eixo X os valores do cubo das respetivas temperaturas.

No eixo Y os valores da luminosidade relativa e no eixo X os valores da quarta potência das respetivas temperaturas. 

 

• Em algum dos casos encontraste uma relação de linearidade?

• Que se pode afirmar acerca da relação da temperatura da estrela com a sua luminosidade?

 

13 -  Da análise dos 2 momentos da exploração desta simulação, o que se pode concluir acerca da relação entre a luminosidade da estrela, a área da sua superfície e a sua temperatura?

 

14 -    A lei que relaciona a potência total de radiação emitida por um corpo negro com a sua temperatura e com a área da sua superfície designa-se por Lei de Stefan-Boltzmann e foi enunciada pelos físicos Joseph Stefan e Ludwig Boltzmann em 1879 e 1884, respetivamente.

Para um corpo negro, como é o caso (em boa aproximação) das estrelas, existe uma constante de proporcionalidade que relaciona a potência total de radiação emitida por uma estrela com a área da sua superfície e uma potência da sua temperatura. Essa constante designa-se por constante de Stefan-Boltzmann, em homenagem aos cientistas que a descobriram, e representa-se pela letra σ, tendo valor :

 

 

 

• Como sabes, a luminosidade tem o mesmo significado de potência total de radiação emitida. Com base nas relações encontradas entre a luminosidade e a área da superfície da estrela e a sua temperatura, formula matematicamente a Lei de Stefan-Boltzmann.